Le langage
des champs

Le monde se décrit avec deux sortes de grandeurs. Les unes tiennent en un seul nombre : ce sont les scalaires. Les autres réclament en plus une direction : ce sont les vecteurs. Et lorsqu'on attache l'une de ces grandeurs à chaque point de l'espace, on obtient un champ. C'est tout le vocabulaire dont ce dossier a besoin.

Un vecteur, en deux dimensions, se range en deux composantes — de combien il avance horizontalement, de combien verticalement. Sa norme est la longueur de la flèche, son intensité :

Un champ, c'est une fonction : elle prend un point en entrée et rend une grandeur en sortie. Si elle rend un nombre, c'est un champ scalaire ; si elle rend une flèche, c'est un champ de vecteurs — l'objet de tout ce dossier.

Un champ de vecteurs, c'est ce qu'on obtient en associant à chaque point de l'espace un vecteur — une longueur et une direction. Ces flèches peuvent représenter la vitesse des particules d'un fluide en chaque point, la force de gravité à différents endroits, ou l'intensité d'un champ magnétique.

« Pour l'essentiel, un champ de vecteurs, c'est ce qu'on obtient en associant à chaque point de l'espace un vecteur — une grandeur et une direction. »

3Blue1Brown — Divergence & rotationnel

Petite note de dessin. Si l'on traçait toutes les flèches à l'échelle, les plus longues encombreraient tout. On triche donc un peu : on raccourcit artificiellement celles qui débordent, en confiant souvent à la couleur le soin de redonner une vague idée de la longueur. (C'est exactement la convention du hero ci-dessus, et de l'atelier plus bas.)

Deux simplifications pour ce dossier. Les champs réels changent dans le temps — le vent vient par rafales, un champ électrique bouge avec ses charges — mais nous regarderons des champs statiques, comme un régime permanent. Et bien qu'un vecteur puisse vivre en 3D ou plus, nous resterons en deux dimensions.

On comprend souvent bien mieux un champ qui décrit un phénomène en imaginant qu'il en décrit un autre. Et si ces vecteurs de force gravitationnelle définissaient plutôt un écoulement ? À quoi ressemblerait-il, et que nous apprendrait-il en retour sur la gravité de départ ?

« Et si les vecteurs qui définissent un écoulement décrivaient la direction de descente d'une certaine colline ? Une telle colline existe-t-elle seulement ? »

3Blue1Brown — Divergence & rotationnel

Cette question-là, c'est le gradient, vu par l'envers. Le gradient d'une « colline » — un champ scalaire : une altitude, une température, un potentiel — est le champ de vecteurs qui pointe partout vers la plus forte montée ; son opposé dévale la pente. Demander « ce flux est-il la descente d'une colline ? », c'est demander s'il dérive d'un potentiel. Quand la réponse est oui, le champ est un gradient, et l'on sait déjà énormément de lui.

Autour de certains points, le fluide jaillit du néant, comme s'il y avait là une source. Autour d'autres, il disparaît dans le néant : ce sont des puits.

« La divergence d'un champ en un point donné te dit à quel point ce fluide imaginé tend à sortir des petites régions voisines, ou à y entrer. »

3Blue1Brown — Divergence & rotationnel

Sur une source, la divergence est positive. Et il n'est pas nécessaire que tout le fluide s'écarte : il suffit que le flux qui arrive d'un côté soit plus lent que celui qui repart de l'autre — cela trahit encore une génération spontanée. Inversement, si une petite région reçoit plus qu'elle ne laisse partir, la divergence y est négative.

Le champ est une fonction qui prend une entrée 2D et rend une sortie 2D. Sa divergence, elle, est une nouvelle fonction : elle prend un point et rend un simple nombre, dépendant du comportement du champ dans un petit voisinage. En cela, c'est l'analogue d'une dérivée — la mesure de « combien » ce point agit en source ou en puits. (On retarde volontairement les calculs : comprendre ce que ça représente compte davantage.)

Imaginez lâcher une brindille dans le fluide, en fixant son centre : tournerait-elle ? Là où la rotation est horaire, le rotationnel est dit positif ; là où elle est antihoraire, négatif.

« Autrement dit : si tu lâchais une brindille dans le fluide à ce point, en fixant son centre, tendrait-elle à tourner ? »

3Blue1Brown — Divergence & rotationnel

Pas besoin que toutes les flèches tournent dans le même sens. Un point au cœur d'une zone de cisaillement — flux lent en bas, rapide en haut — a un rotationnel non nul : il en résulte une influence horaire nette.

L'exemple maître : l'électricité et le magnétisme tiennent en quatre équations — les équations de Maxwell — écrites dans le langage de la divergence et du rotationnel.

Loi de Gauss. La divergence du champ électrique en un point est proportionnelle à la densité de charge qui s'y trouve. Lisez-la en fluide : les régions chargées positivement sont des sources, les régions négatives des puits, et là où il n'y a pas de charge, le fluide s'écoule de façon incompressible, comme l'eau.

Divergence du champ magnétique : zéro partout. Le fluide correspondant est incompressible — ni source, ni puits. Autrement dit, les monopôles magnétiques — un pôle nord ou sud isolé — n'existent pas : rien d'analogue aux charges positives et négatives de l'électricité.

« Bien sûr, il n'existe pas de fluide électrique au sens propre — mais c'est une façon très utile, et très belle, de lire une équation comme celle-ci. »

3Blue1Brown — Divergence & rotationnel

Enfin, les deux dernières équations disent que la façon dont l'un des champs change dépend du rotationnel de l'autre. C'est une idée purement tridimensionnelle ; mais voici le point : ce va-et-vient entre les deux équations est précisément ce qui donne naissance aux ondes lumineuses.

Exemple classique en équations différentielles : suivre la taille de deux populations, dont l'une est le prédateur de l'autre. L'état du système à un instant — les deux effectifs — est un point d'un plan : son espace des phases. À chaque couple d'effectifs on associe un vecteur, qui dit comment, et à quelle vitesse, ils tendent à changer.

« Des opérations comme la divergence et le rotationnel peuvent te renseigner sur le système. Les effectifs convergent-ils vers un couple de valeurs, ou y a-t-il des valeurs dont ils s'écartent ? »

3Blue1Brown — Divergence & rotationnel

On écrit la divergence comme un produit scalaire entre ce triangle renversé ∇ et le champ, et le rotationnel comme un produit vectoriel. On dit parfois que c'est un simple tour de notation. C'est plus que ça : il existe un vrai lien entre divergence et produit scalaire, et entre rotationnel et produit vectoriel.

Faites un petit pas d'un point à un autre. Le vecteur au nouveau point diffère un peu : cette différence de la fonction sur de petits pas, c'est tout le calcul différentiel.

Le produit scalaire mesure à quel point deux vecteurs sont alignés. Le produit scalaire de votre pas par la différence qu'il provoque tend à être positif là où la divergence l'est : un pas qui provoque un changement dans la même direction, c'est un flux sortant.

« La divergence est une sorte de valeur moyenne de ce produit scalaire — un pas, multiplié par le changement qu'il provoque — sur toutes les directions de pas possibles. »

3Blue1Brown — Divergence & rotationnel

De même, le produit vectoriel mesure à quel point deux vecteurs sont perpendiculaires. Le produit vectoriel du pas par la différence qu'il provoque tend à être positif là où le rotationnel l'est : un pas qui provoque un changement perpendiculaire, c'est une tendance à la rotation.