Le Son

La section Newton–Laplace du chapitre résume l’affaire en une ligne : Newton suppose la compression isotherme, Laplace la corrige par le facteur √γ. Les textes montrent un chemin plus long, d’environ un siècle et quart, où la bonne idée a précédé de vingt ans les bonnes mesures, et où un premier accord spectaculaire reposait sur une donnée fausse.

Un écart que personne n’explique. Newton publie 968 pieds anglais par seconde dans la première édition des Principia (1687), puis 979 dans la deuxième, avec des données plus récentes sur la densité de l’air. Les mesures au canon donnent environ 1 100 pieds. Pour combler l’écart, Newton suppose que les particules d’air ont un diamètre égal au dixième de leur espacement, et que le son traverse ces particules instantanément ; la vapeur d’eau fait le reste, jusqu’à 1 142 pieds par seconde. Au XVIIIᵉ siècle, cette explication ne convainc pas, et personne ne fait mieux. Euler admet en 1759 que la cause de « cet excès sur la théorie » reste inconnue ; Lagrange, la même année, refait le calcul sans l’hypothèse d’un mouvement harmonique des particules et trouve le même résultat.

La mesure de 1738. L’Académie royale des sciences charge Cassini de Thury, Maraldi et La Caille d’une nouvelle mesure, par coups de canon tirés la nuit entre la tour de Montlhéry et la pyramide de Montmartre, sur une base de 14 636 toises (environ 28,5 km). Le résultat, 173 toises par seconde, soit environ 337 m/s, servira de référence jusqu’aux années 1820.

L’idée, sans les données. Vers 1802, Laplace a compris l’essentiel : une compression rapide chauffe l’air, cette chaleur n’a pas le temps de s’échapper, et la pression monte plus que ne le dit la loi de Boyle. Son élève Biot l’expose la même année dans le Journal de physique ; faute de données, il calcule seulement de combien l’air devrait s’échauffer pour rendre compte de la vitesse observée. En 1808, Poisson estime qu’une compression de 1/116 du volume élève la température d’un degré. Pour vérifier, il faut mesurer ce que personne ne sait encore mesurer : les chaleurs spécifiques des gaz, à pression constante et à volume constant.

Un accord trop beau. L’Académie met au concours la chaleur spécifique des gaz en 1811. Delaroche et Bérard remportent le prix en 1813 ; Clément et Desormes publient leur propre mémoire en 1819. En décembre 1816, dans les Annales de chimie et de physique, Laplace énonce le résultat correct : la vitesse vraie est la vitesse de Newton multipliée par la racine du rapport des chaleurs spécifiques. Mais il tire ce rapport des mesures de Delaroche et Bérard, qu’il interprète selon sa théorie du calorique, et obtient 1,5 : d’où 345 m/s, contre 337 m/s mesurés. L’historien Bernard Finn a montré que la donnée de départ était fausse (1,24 au lieu de 1,36 pour la chaleur spécifique relative de l’air comprimé) : une erreur de moins de 10 % sur la mesure devenait une erreur de 50 % dans l’usage qu’en faisait Laplace.

1822–1823 : la mesure et la théorie se rapprochent. Gay-Lussac et Welter mesurent directement le rapport des chaleurs spécifiques, selon toute vraisemblance par une détente brusque comme Clément et Desormes : 1,3748. La même année 1822, dans les nuits du 21 et du 22 juin, le Bureau des longitudes fait tirer des coups de canon croisés entre Villejuif (Arago, Prony, Mathieu) et Montlhéry (Gay-Lussac, Humboldt, Bouvard), à 18,6 km : tirer dans les deux sens annule en grande partie l’effet du vent. Résultat : 340,9 m/s à 15,9 °C. L’année suivante, en 1823, Laplace, dans le livre XII du tome V de la Mécanique céleste (le tome porte la date de 1825 en page de titre), applique 1,3748 à la vitesse de Newton et trouve 337,7 m/s après correction de la vapeur d’eau : environ 3 m/s de moins que la mesure de 340,9 m/s, soit un écart voisin de 1 %. Ramené à 0 °C par la racine du rapport des températures absolues, le chiffre de 1822 donne 340,9 × √273,15/289,05 ≈ 331,4 m/s, à moins de 1 m/s de la valeur moderne (331,3 m/s pour l’air sec), dans l’incertitude de la mesure.

Une explication encore discutée. L’hypothèse adiabatique reste contestée pendant des décennies. En 1847, Joule calcule avec l’équivalent mécanique de la chaleur un échauffement qui « confirme pleinement » Laplace, et la charge de la preuve passe aux opposants. La clé ce qui fixe la célérité donne la réponse moderne : à 1 kHz, la chaleur ne diffuse que sur une fraction de millimètre pendant une période.

Tout le chapitre repose sur une hypothèse que le décibel rend facile à oublier : la pression acoustique p est petite devant la pression d’équilibre P0. C’est elle qui autorise les relations linéaires (la célérité ne dépend pas de l’amplitude, deux ondes s’additionnent sans se gêner). L’échelle des niveaux permet de voir où cette hypothèse est excellente, où elle commence à céder, et pourquoi le nombre « 194 dB » revient si souvent.

Trois rapports qui disent la même chose. Pour une onde plane progressive, trois grandeurs sans dimension mesurent la « petitesse » de l’onde : p/P0 ; la variation relative de masse volumique ρ'/ρ0 = p/(ρ0c^2) ; et le nombre de Mach acoustique u/c, rapport de la vitesse particulaire à la célérité. Comme u = p/(ρ0 c) (quatre grandeurs), les deux derniers sont égaux, et comme ρ0 c^2 = γ P0 dans un gaz parfait, ils valent p/P0 divisé par 1,4. La compression adiabatique (Newton–Laplace) chauffe en outre l’air de Δ T/T = tfracγ-1γ p/P0.

(Calcul pour de l’air à 20 °C, P0 = 101 325 Pa, ρ0 c = 413 rayl, γ = 1,4 ; valeurs efficaces, à multiplier par √2 pour les crêtes d’un sinus.)

En bas de l’échelle : moins qu’un atome, et pourtant un fluide. À 0 dB et 1 kHz, chaque petit volume d’air se déplace d’environ 8 × 10^-12 m, dix fois moins que la taille d’un atome et quelques milliers de fois moins que le libre parcours moyen des molécules (environ 5 × 10^-8 m). L’image d’un fluide continu reste pourtant juste : ce qui compte n’est pas le déplacement, mais la taille de la « particule » acoustique, qui doit être petite devant la longueur d’onde et grande devant le libre parcours. Le tympan moyenne ainsi l’effet d’un nombre énorme de molécules. Un calcul d’ordre de grandeur, fondé sur le nombre de chocs moléculaires que reçoit une membrane de 5 mm en une demi-période, donne des fluctuations thermiques de pression vers 10^-5 Pa : le seuil d’audition se situe à peine au-dessus du bruit propre de l’air.

Au milieu : linéaire localement, non linéaire à la longue. À 120 dB, u/c vaut 1,4 × 10^-4. Localement, l’approximation linéaire est excellente. Mais la célérité du son est un peu plus grande dans les compressions (l’air y est plus chaud et avance dans le sens de l’onde) que dans les détentes. Sur une longue distance, cet écart minuscule s’accumule : les crêtes rattrapent les creux, le front se raidit, et une onde forte finit par former un choc (ondes qui cessent de s’additionner). La linéarité n’est donc pas une propriété d’un niveau seul : elle dépend aussi de la distance parcourue et de la fréquence.

En haut : le sens exact de « 194 dB ». 20log10(101 325/20 × 10^-6) ≈ 194,1 dB : c’est le niveau dont la pression efficace égale la pression atmosphérique. Pour un sinus, la crête vaut √2 fois l’efficace ; dès 191,1 dB, le creux d’un sinus devrait donc atteindre une pression absolue nulle, et au-delà, négative. Un gaz ne supporte pas de pression négative : une onde sinusoïdale symétrique ne peut pas exister à ce niveau dans l’air au niveau de la mer. Ce n’est pas un plafond pour les surpressions : une compression peut dépasser P0 autant que la source le permet. Mais l’onde n’a plus rien de sinusoïdal, les formules linéaires ne s’appliquent plus (elles prédiraient à 191 dB une vitesse particulaire égale à la moitié de la célérité), et un chiffre en « dB » pour une onde de souffle désigne alors une pression de crête, pas un niveau efficace au sens de ce chapitre.

Ce que la linéarité n’impose pas. Elle ne suppose pas un milieu sans pertes (absorption classique) ni un milieu homogène ; elle suppose seulement que les grandeurs de l’onde restent petites devant celles du milieu au repos. Toutes les additions de décibels du dossier, toutes les superpositions de Fourier, toutes les réponses impulsionnelles en dépendent.

Le décibel est partout dans ce dossier, et l’on explique souvent son logarithme par l’oreille. Son origine est ailleurs : dans les laboratoires de la compagnie téléphonique américaine, au début des années 1920, où l’on cherchait à chiffrer les pertes des lignes. Les deux articles fondateurs, publiés par W. H. Martin dans le Bell System Technical Journal en 1924 et en 1929, racontent cette histoire.

Une unité faite de câble. Pendant plus de vingt ans, les ingénieurs du téléphone mesurent l’efficacité d’un circuit en « milles de câble standard ». Le câble standard est une ligne artificielle de 88 ohms et 0,054 microfarad par mille de boucle, représentative des câbles de l’époque. Pour noter un circuit, un opérateur parle alternativement dans ce circuit et dans un circuit de référence ; un auditeur compare, et l’on ajuste la longueur de câble de référence jusqu’à ce que les deux sons paraissent également forts. Le nombre de milles devient la « valeur » du circuit. L’unité est déjà logarithmique sans le dire : si un mille divise la puissance par r, deux milles la divisent par r^2, et n milles par r^n.

Le défaut : une unité qui dépend de la fréquence. Pour une ligne sans inductance ni fuite, l’affaiblissement du courant par unité de longueur vaut :

Avec les valeurs du câble standard : à 1 kHz, a = √π × 1 000 × 88 × 0,054 × 10^-6 ≈ 0,122 Np, soit 8,686 × 0,122 ≈ 1,06 dB par mille. À 500 Hz, 0,75 dB ; à 2 kHz, 1,50 dB. Tant que les lignes réelles déformaient le son comme le câble standard, cette double nature servait les comparaisons à l’oreille. Avec les circuits à amplificateurs et les mesures à fréquence unique, elle devient gênante : il faut une unité « sans distorsion ».

1923 : l’unité de transmission. Le Bell System remplace le mille de câble par une unité définie sur un rapport de puissances, sans référence à aucune ligne : deux puissances diffèrent d’une unité quand leur rapport vaut 10^0,1. Le nombre d’unités est donc dix fois le logarithme décimal du rapport. Martin énumère les qualités recherchées : logarithmique, indépendante de la fréquence, fondée sur la puissance, simple à calculer avec une table de logarithmes, et de même ordre de grandeur que l’ancien mille, pour ne pas bouleverser les habitudes. Son effet sur la parole transmise est d’environ 6 % plus faible que celui d’un mille de câble, ce que retrouve le calcul à 1 kHz ci-dessus.

1924–1929 : bel, néper, décibel. Un comité européen de téléphonie à longue distance, créé en 1924, discute la normalisation. Certaines administrations préfèrent une unité fondée sur le logarithme népérien, dont le rapport de base est e^2 en puissance. Le compromis retient deux unités : une unité décimale fondée sur le rapport 10, nommée « bel » d’après Alexander Graham Bell, et une unité népérienne, nommée « néper » d’après Napier, l’inventeur des logarithmes ; les deux diffèrent d’environ 15 %. L’unité de transmission, dixième du bel, prend le nom de « décibel », abrégé « db » : adopté par le Bell System fin 1928, il est officialisé dans l’article de Martin de janvier 1929. La conversion entre les deux familles subsiste dans tout le dossier : un néper d’amplitude vaut 20log10 e ≈ 8,686 dB, le facteur qui transforme un coefficient d’atténuation en népers par mètre en décibels par mètre (absorption classique).

Et l’oreille ? L’article de 1924 invoque aussi la sensation : il affirme que la force perçue est une fonction logarithmique de l’énergie. C’est l’idée de Fechner, que la psychoacoustique du XXᵉ siècle a nuancée (mesurer une sensation). Le décibel n’a pas été construit sur une mesure de la sonie : c’est une unité d’ingénieur, commode pour multiplier des pertes en additionnant des nombres. Son usage pour les sons dans l’air, avec la référence de 20 µPa (grammaire des niveaux), est venu ensuite.

L’équation de d’Alembert à une dimension décrit une onde dans un tube de section constante. Beaucoup de conduits réels s’évasent : pavillon de cuivre ou de haut-parleur, corps conique du hautbois ou du saxophone, conduit vocal. On refait ici le bilan qui donne l’équation d’onde en laissant la section S(x) varier, puis on en tire deux résultats qui ne se devinent pas.

Le bilan d’une tranche. On suppose des fronts d’onde presque plans, une section qui varie lentement à l’échelle de la longueur d’onde, et de petites amplitudes. Dans la tranche comprise entre x et x + dx, la masse d’air contenue augmente de ce qui entre moins ce qui sort ; ce qui passe est le débit S u, qui dépend de x à la fois par la vitesse et par la section. La loi de Newton, elle, ne change pas : l’air d’une tranche est poussé par la différence de pression entre ses deux faces. Avec p = c^2 ρ' (les trois lois), on élimine la vitesse et la masse volumique :

Un nom d’usage. On l’appelle « équation de Webster », d’après l’article de 1919, mais elle est plus ancienne : Lagrange, Daniel Bernoulli et Euler l’avaient déjà établie au XVIIIᵉ siècle, et Rayleigh l’a traitée pour un tube de révolution en 1916.

Premier cas : le cône. Pour un cône mesuré depuis son sommet, la section croît comme le carré de la distance, S ∝ x^2. En posant p = psi/x, l’équation de Webster redevient exactement celle de d’Alembert pour psi : les solutions sont des ondes sphériques, p = [f(x - ct) + g(x + ct)]/x, comme autour d’une petite source en champ libre. Le mode stationnaire qui reste fini au sommet est sin(kx)/x. Au sommet, ce rapport tend vers k : la pression y est maximale et la vitesse nulle, comme contre un fond fermé. À l’autre bout, ouvert, la pression doit s’annuler : sin(kL) = 0.

Exemple chiffré, longueur 0,65 m, c = 343 m/s (valeurs idéales, sans correction d’extrémité) :

Le cône et le cylindre fermé ont pourtant tous deux un bout « fermé ». La différence tient au facteur 1/x : dans le cylindre, un maximum de pression au fond et un nœud à l’ouverture imposent un quart de longueur d’onde ; dans le cône, sin(kx)/x est déjà maximal au sommet, et il suffit qu’une demi-longueur d’onde tienne dans le conduit. C’est ce qui sépare les instruments qui octavient quand on force le souffle (hautbois, saxophone) de la clarinette, qui passe à la douzième.

Deuxième cas : le pavillon exponentiel. Pour S = S0 e^m x, le terme ajouté par l’évasement est constant. En cherchant une onde de la forme e^-mx/2cos(ω t - kappa x), on trouve kappa^2 = (ω/c)^2 - m^2/4 : l’onde ne se propage que si ω > mc/2, c’est-à-dire au-dessus de

Si la section double tous les 20 cm, m = ln 2/0,20 ≈ 3,47 m⁻¹ et fc ≈ 3,47 × 343/(4π) ≈ 95 Hz. Pour descendre à 47 Hz, il faut un évasement deux fois plus lent : la section ne double plus que tous les 40 cm, et le pavillon, pour atteindre la même ouverture, est deux fois plus long.

Le chapitre écrit l’équation d’onde en trois dimensions, puis la ramène à une seule pour la corde et le tuyau. Le passage d’une dimension à l’autre n’est pas neutre. La même équation, excitée par la même impulsion brève, donne une impulsion brève en trois dimensions, une marche qui ne retombe jamais en une dimension, et une réponse avec une longue traîne en deux dimensions. Ce détail mathématique a des conséquences très concrètes, notamment pour les simulations en deux dimensions comme le bac à ondes S09.

La réponse à un claquement idéal. On note G la réponse du milieu, en un point situé à la distance r de la source, à une impulsion infiniment brève émise à l’instant zéro. En trois dimensions et en deux, elle s’écrit :

Pourquoi la traîne. Un problème à deux dimensions est un problème à trois dimensions invariant selon la troisième : un point source dans le plan représente en réalité une ligne de sources, infinie, perpendiculaire au plan. Chaque élément de cette ligne émet un claquement net, mais ils sont à des distances différentes du point d’écoute : leurs contributions arrivent l’une après l’autre, la plus proche en premier, les plus lointaines de plus en plus tard et de plus en plus affaiblies. La traîne n’est rien d’autre que cet étalement des temps d’arrivée. En une dimension, la source est un plan entier : toutes les contributions lointaines s’additionnent et la réponse devient une marche, G1 = H(t - |x|/c)/(2c), qui ne retombe pas. C’est le « déplacement qui reste » d’une corde frappée sur un point, que l’équation de d’Alembert décrit par deux fronts qui s’éloignent.

Un exemple chiffré. Point d’écoute à r = 3,43 m : le front arrive à 10 ms dans tous les cas. En trois dimensions, il n’y a plus rien après. En deux dimensions, la réponse vaut, en proportion de 1/√t^2 - r^2/c^2 : 218 s⁻¹ à 11 ms, 58 s⁻¹ à 20 ms et encore 10 s⁻¹ à 100 ms, soit environ un vingtième de sa valeur à 11 ms, quatre-vingt-dix millisecondes après le passage du front. Dans une simulation plane, un claquement est suivi d’un bruissement qui n’existe pas dans une pièce réelle vide de réflexions.

Ce que cela change pour les ateliers et les mesures.

• Le niveau. En deux dimensions, l’énergie se répartit sur un cercle, dont le périmètre croît comme r : le niveau baisse de 3 dB par doublement de distance, contre 6 dB pour une source ponctuelle réelle. C’est l’avertissement que porte le bac à ondes, et la même loi que celle d’une route chargée vue comme une ligne de sources (dilution sphérique et cylindrique).
• La forme des signaux. Un bac à ondes en deux dimensions reproduit fidèlement les directions (réflexion, réfraction, diffraction, positions des nœuds des modes), mais pas la forme temporelle d’une impulsion. Pour comparer une réponse simulée à une réponse mesurée, il faut soit simuler en trois dimensions, soit corriger cette traîne.
• La réverbération. Dans une salle réelle, la traîne entendue après un claquement vient des réflexions sur les parois, pas de la propagation elle-même. En trois dimensions, un point de l’espace libre redevient silencieux dès que le front est passé : c’est ce qui permet de lire la réponse impulsionnelle d’une salle comme une suite d’échos distincts.

Les limites de cette propriété. Elle suppose un milieu homogène et sans pertes. La dispersion, qui fait voyager les fréquences à des vitesses différentes, étale aussi une impulsion, même en trois dimensions : c’est le cas des ondes de flexion d’une plaque. Un milieu dont la célérité varie avec la position crée de même des arrivées multiples. La netteté du front en espace libre est donc une propriété de l’équation d’onde idéale à trois dimensions, pas de toute propagation.

La loi de la réflexion du chapitre, angle réfléchi égal à l’angle incident, vaut « sur une paroi grande devant λ ». Deux questions restent ouvertes : grande comment, et que se passe-t-il quand la paroi n’est pas plane ? La première se règle par un calcul de zones ; la seconde a donné lieu, à propos de la galerie des murmures de la cathédrale Saint-Paul de Londres, à une explication fausse puis à une explication juste.

La zone qui fait la réflexion. Une source et un auditeur se trouvent devant un panneau plan, aux distances d1 et d2. Le chemin le plus court passe par le point de réflexion spéculaire. Un point du panneau situé à la distance ρ de ce point allonge le trajet d’environ ρ^2/(2d1) + ρ^2/(2d2). Tant que cet allongement reste inférieur à une demi-longueur d’onde, les contributions de la surface arrivent à peu près en phase et s’additionnent : c’est la première zone de Fresnel. Son rayon vaut :

Exemple : source et auditeur à 10 m d’un panneau suspendu (distance réduite 5 m). À 125 Hz, ρF = √2,74 × 5 ≈ 3,7 m ; à 1 kHz, 1,3 m ; à 4 kHz, 0,65 m. Un réflecteur carré de 1,5 m de côté, dont le demi-côté vaut 0,75 m, contient toute la première zone à partir de 3 kHz environ ; mais ce critère marque l’établissement du régime miroir, avec ses oscillations, pas la coupure. Un calcul de Kirchhoff (panneau carré, incidence normale, 10 m de part et d’autre) donne, par rapport à un miroir infini, environ −16 dB à 125 Hz, −10 dB à 250 Hz, −6 dB à 390 Hz, −4 dB à 500 Hz, +1,5 dB à 1 kHz et +4 à +5 dB à 2–3 kHz. Le panneau ne renvoie donc qu’une fraction du son sous ≈ 500 Hz (−3 dB vers 550 Hz) et devient un vrai miroir vers 1 kHz ; dans le grave, il laisse passer le son autour de lui. Les réflecteurs de salle de concert sont donc des filtres : ils renvoient les aigus et laissent filer les graves. Pour renvoyer le grave, il faut des surfaces de plusieurs mètres, ou regrouper plusieurs panneaux en une surface quasi continue.

Une surface rugueuse ou morcelée se lit avec le même critère : si les irrégularités sont petites devant la longueur d’onde, la paroi reste un miroir ; comparables, elle diffuse (diffusion).

Les parois courbes. Une paroi convexe étale les rayons réfléchis : elle affaiblit un écho et sert de diffuseur. Une paroi concave les resserre : une voûte ou un mur en arc de cercle peut concentrer vers un foyer une énergie venue de toute sa surface. Au centre d’une salle circulaire, tous les rayons émis reviennent au point de départ en même temps : le moindre claquement y produit un écho puissant.

La galerie des murmures : une explication réfutée. À Saint-Paul, deux personnes placées contre la paroi de la galerie circulaire qui entoure la coupole s’entendent chuchoter de part et d’autre. L’astronome George Airy y voyait un écho concentré, la paroi jouant le rôle d’un miroir concave focalisant le son. Rayleigh, qui a observé lui-même le phénomène, objecte que les positions n’ont rien de particulier : n’importe quelles places conviennent, ce qu’une focalisation n’autoriserait pas. Il remarque aussi qu’un chuchotement passe mieux qu’une voix ordinaire, surtout si l’on parle le long de la paroi : le chuchotement, plus directif, lance davantage d’énergie tangentiellement. Son explication : le son rampe le long de la surface concave, réfléchi de proche en proche sous une incidence rasante, sans jamais s’éloigner de la paroi.

Rayleigh défendait cette explication dès 1878 (Theory of Sound, § 287) ; il la met à l’épreuve en 1904 sur une maquette : une bande de zinc d’environ 60 cm de large et 3,7 m de long, pliée en demi-cercle, un sifflet à oiseau de 2 cm de longueur d’onde dirigé le long de la paroi, et une flamme sensible comme détecteur. Un écran placé sur la ligne droite entre sifflet et flamme ne change rien ; une latte d’au plus 5 cm de large posée contre le zinc coupe presque tout le son. En 1910, il donne la théorie ondulatoire : quand le pourtour contient un grand nombre de longueurs d’onde, les solutions qui tournent le long de la paroi concentrent leur énergie dans une couche mince contre elle. Ces modes de galerie portent aujourd’hui le même nom en optique, où la lumière circule dans de minuscules résonateurs.

Le chapitre explique pourquoi le son porte mieux le soir : quand la célérité varie avec l’altitude, les fronts d’onde tournent vers la région où le son va moins vite. Cette explication a un peu plus de cent cinquante ans. Elle est sortie d’un problème très pratique, les signaux de brume pour les navires, et d’un désaccord entre deux physiciens britanniques en 1874.

Une observation ancienne, sans théorie. En 1708, William Derham publie dans les Philosophical Transactions une longue série d’essais de propagation, pour la plupart au canon. Il se demande si le vent accélère ou retarde le son, si le jour et la nuit, l’été et l’hiver changent sa vitesse, si la hauteur du baromètre y fait quelque chose. Il note aussi une impression qu’il ne sait pas expliquer : l’été, par temps chaud, les sons lui paraissent plus faibles ; l’hiver, surtout par gel, plus nets et plus perçants ; et la lecture du baromètre ne lui permet de rien prévoir.

Stokes, 1857 : ce n’est pas le vent, c’est sa variation. Qu’un son porte moins loin contre le vent est connu de tous les chasseurs. L’explication naïve, le vent qui « ramène » le son, ne tient pas : même un vent fort ne retranche pas un dixième à la célérité. George Gabriel Stokes propose en 1857 une autre cause. Le vent est freiné par le sol, il souffle plus fort en hauteur ; la vitesse effective du son varie donc avec l’altitude, et les fronts d’onde tournent. Contre le vent, le son est dévié vers le haut et passe au-dessus de l’auditeur ; avec le vent, il est rabattu vers le sol.

Tyndall, 1873 : le brouillard mis hors de cause. La Trinity House, chargée des phares et des signaux côtiers britanniques, confie à John Tyndall l’essai des cornes, sirènes et canons de brume. Les essais commencent le 19 mai 1873 au cap de South Foreland, près de Douvres, et les portées observées déroutent tout le monde : environ 3,5 milles le 19 mai, 6 le 2 juin, plus de 9 le lendemain, plus de 12 le 1ᵉʳ juillet par une brume épaisse qui cache les falaises, 4 seulement le 2 juillet. Le 3 juillet, par un temps calme et parfaitement clair, même le canon devient inaudible à moins de 3 milles. Le vent ne suit pas ces variations, la transparence de l’air non plus : le brouillard, que l’on croyait être l’ennemi du son, n’est pas le coupable. Tyndall propose une autre cause : le soleil fait monter de la mer des courants de vapeur qui rendent l’air hétérogène, et chaque surface invisible entre deux masses d’air renvoie une part du son. Il parle de « nuages acoustiques », et il entend en effet des échos venus d’un air sans obstacle visible. Son mémoire est lu à la Royal Society le 12 février 1874.

Reynolds, 1874 : la température courbe aussi le son. Osborne Reynolds, qui avait encore défendu en décembre 1873 l’idée d’un brouillard qui étouffe le son, présente à la Royal Society, en avril 1874, un mémoire sur la réfraction du son par l’atmosphère. Il reprend l’explication de Stokes pour le vent et l’appuie sur des expériences ; il mesure notamment qu’au-dessus d’une prairie, le vent à un pied du sol n’a que la moitié de sa vitesse à huit pieds. Puis il ajoute un second mécanisme, qu’il pense nouveau : par une journée ensoleillée, l’air est plus chaud près du sol, le son y va plus vite, et les rayons sont courbés vers le haut. Cette réfraction suffit selon lui à expliquer la différence entre le jour et la nuit, et les résultats de Tyndall au large de South Foreland.

Ce qui est resté. Les deux mécanismes existent. Les gradients de vent et de température, décrits par Stokes et Reynolds, commandent les grandes différences de portée et les zones d’ombre (atmosphère et océan) ; les hétérogénéités de l’air, que Tyndall invoquait, diffusent une part du son, y compris vers ces zones d’ombre. Au XXᵉ siècle, le même raisonnement, appliqué à la haute atmosphère, expliquera les explosions entendues très loin mais pas à distance moyenne (zones de silence).

Le chapitre pose la règle : un obstacle ou une ouverture se juge à l’échelle de la longueur d’onde. Deux calculs simples transforment cette règle en nombres. Le premier dit dans quel cône une ouverture laisse passer une onde ; le second dit de combien un écran enfonce son ombre, selon la fréquence.

L’ouverture : un faisceau d’autant plus large que l’ouverture est petite. Une onde plane qui traverse une fente de largeur a ne continue pas en faisceau parallèle. Loin de la fente, chaque point de l’ouverture réémet ; dans une direction inclinée, les contributions des deux moitiés de la fente parcourent des chemins différents. Quand l’écart entre les bords atteint une longueur d’onde, la fente se découpe en deux moitiés dont les contributions s’annulent deux à deux : c’est le premier minimum.

Une porte de 0,9 m, trois fréquences (c = 343 m/s, porte assimilée à une fente, écoute lointaine) :

Derrière la porte, on entend donc les graves presque partout et les aigus surtout dans l’axe. Le bac à ondes retrouve cette loi : pour une fente où λ/a = 0,5, le calcul donne 30° et la simulation 31°.

L’écran : tout se joue sur la différence de marche. Derrière un mur antibruit, le son direct est bloqué ; ce qui arrive a contourné l’arête. Le chemin qui passe par l’arête est plus long que la ligne droite source–récepteur d’une longueur δ. On compare ce détour à une demi-longueur d’onde :

Exemple chiffré. Source à 0,5 m du sol, écran de 3 m de haut placé à 5 m, récepteur à 1,5 m du sol, 20 m derrière l’écran. A = √5^2 + 2,5^2 ≈ 5,590 m ; B = √20^2 + 1,5^2 ≈ 20,056 m ; d = √25^2 + 1^2 ≈ 25,020 m ; d’où δ ≈ 0,626 m.

Le même écran place le récepteur à moins d’une demi-zone de Fresnel pour le grave et à plus de sept pour l’aigu. Selon les manuels de bruit routier, les ordres de grandeur qui vont avec sont : environ 5 dB(A) d’atténuation quand l’écran cache tout juste la chaussée, environ 1,5 dB(A) de plus par mètre de hauteur au-delà, et un plafond pratique vers 20 dB(A) pour un mur mince, car le son contourne aussi l’écran par ses extrémités, le sol et l’atmosphère. Ce sont des règles pratiques pour une source en ligne et une pondération A, pas des lois générales. Le spectre qui arrive derrière le mur est donc déplacé vers le grave : c’est la rumeur sourde qu’on entend derrière un écran.

Ce que ces deux calculs ne disent pas. Ils ignorent la transmission à travers l’obstacle, qui relève de la paroi, les réflexions sur le sol et les gradients de vent, qui peuvent ramener du son dans l’ombre (atmosphère). Ils décrivent la géométrie de la diffraction, pas tout le bilan d’un écran réel.

Pythagore n’a rien laissé d’écrit, et ce qu’on lui attribue en musique passe par des auteurs bien postérieurs. Trier les sources change le récit.

Une légende tardive. La plus ancienne version conservée de l’histoire du forgeron se lit chez Nicomaque de Gérase, dans son Manuel d’harmonique (Ier ou IIe siècle de notre ère), six siècles environ après Pythagore. Elle est reprise par Jamblique, Gaudence, Macrobe, puis par Boèce au début du VIe siècle, dont la version devient la référence du Moyen Âge latin. Pythagore entend des marteaux pesant 12, 9, 8 et 6 livres : 12 et 6 sonnent l’octave, 12 et 8 (comme 9 et 6) la quinte, 12 et 9 (comme 8 et 6) la quarte, 9 et 8 le ton. Boèce ajoute un cinquième marteau, écarté parce qu’il dissonait avec tous les autres. Rentré chez lui, Pythagore aurait suspendu les mêmes poids à des cordes et retrouvé les mêmes accords.

Pourquoi c’est faux. Deux étapes du récit échouent. La hauteur d’un marteau frappé n’est pas proportionnelle à son poids. Et pour des cordes identiques tendues par des poids, la fréquence varie comme la racine carrée de la tension : il faut quadrupler le poids pour obtenir l’octave, et des poids dans le rapport 9:4 pour la quinte. Vincenzo Galilei le fait remarquer en 1589 ; Mersenne en donne la loi en 1636 (corde de Mersenne). La légende transmet des rapports justes à travers des expériences qui ne pouvaient pas les donner.

Ce qui est attesté. Selon la Stanford Encyclopedia of Philosophy, la seule source ancienne précoce à relier Pythagore aux rapports des consonances est Xénocrate, dans l’Académie de Platon, c’est-à-dire le milieu même qui a grossi la légende. Les rapports 2:1, 3:2 et 4:3 apparaissent en revanche clairement dans les fragments de Philolaos, dans la seconde moitié du Ve siècle (calculs de Philolaos). Une expérience est attribuée à Hippase, actif après la mort de Pythagore : d’après Aristoxène, il prépara quatre disques de bronze de même diamètre, dont les épaisseurs étaient dans ces rapports, et les frappa. Celle-là pouvait marcher. Pour une plaque de diamètre donné, la raideur en flexion croît comme le cube de l’épaisseur et la masse comme l’épaisseur : les fréquences propres sont proportionnelles à l’épaisseur (plaques). Un disque deux fois plus épais sonne une octave plus haut.

Archytas : une bonne idée, une erreur durable. Archytas de Tarente (né entre 435 et 410, mort entre 360 et 350 avant notre ère) ouvre son livre d’harmonique en expliquant que les sons naissent de chocs et que leur hauteur dépend de la vitesse à laquelle ils se propagent : un bâton agité vite fait un son plus aigu qu’agité lentement. L’origine mécanique est juste ; la conclusion ne l’est pas, puisque dans l’air tous les sons audibles voyagent à la même célérité (célérité). Cette théorie a pourtant dominé l’Antiquité. Ptolémée conserve aussi, cinq siècles plus tard, les divisions de la quarte d’Archytas, par exemple le diatonique 9/8 · 8/7 · 28/27, qui semblent décrire des gammes réellement jouées.

L’oreille contre le nombre. Aristoxène de Tarente, élève d’Aristote, défend dans ses Éléments harmoniques l’idée que les intervalles se jugent à l’oreille plutôt que par des rapports de nombres, tout en employant un vocabulaire arithmétique. Vitruve paraphrase Aristoxène dans son livre V, juste avant de décrire ses vases.

Hors de Grèce : un document sonore daté. En 1978, à Leigudun (Suizhou, Hubei), la tombe du marquis Yi de Zeng, mort vers 433 avant notre ère, livre un jeu de 64 cloches de bronze sur trois niveaux, du do 2 au ré 7. Chaque cloche donne deux sons, à une tierce majeure ou mineure l’un de l’autre, selon qu’on la frappe au centre ou sur le côté ; les inscriptions, 3 755 caractères au total, nomment les notes. Les mesures de Thomas Rossing et de ses collègues, faites sur la copie moderne d’une cloche ancienne de ce type, montrent pourquoi : ses modes vont par paires, l’un avec un nœud sur l’arête de la cloche, l’autre avec un ventre, et le point de frappe excite surtout l’un ou l’autre.

Deux dispositifs antiques sont souvent rangés sous la même étiquette d’« acoustique merveilleuse » : les gradins d’Épidaure et les vases résonants que décrit Vitruve. Le premier a fait l’objet d’une modélisation physique ; le second tient surtout d’un texte. Ils n’agissent pas de la même façon.

Une surface ondulée. Vus par une onde sonore, les rangs de sièges en calcaire forment une surface en marches, répétée à pas régulier. Une telle surface ne réfléchit pas comme un plan incliné : elle diffracte, et l’effet dépend du rapport entre la longueur d’onde et le pas. À 500 Hz, λ = c/f ≈ 343/500 ≈ 0,69 m, l’ordre de grandeur des dimensions d’un gradin. L’étude numérique de Nico Declercq et Cindy Dekeyser (2007), appuyée par des essais en ultrasons sur modèle, montre que cette structure affaiblit les fréquences inférieures à environ 500 Hz et renvoie vers les spectateurs les fréquences plus élevées. Le bruit de fond d’un site en plein air, rumeur de foule, vent, feuillage, est riche en graves : il est atténué davantage que la partie aiguë de la voix.

Et les graves de la voix ? Le filtre ne trie pas les sources : il affaiblit aussi le fondamental d’une voix grave. Les auteurs invoquent la hauteur virtuelle : quand les harmoniques d’un son sont présents, l’auditeur perçoit sa hauteur même si le fondamental manque, comme au téléphone ou sur un petit haut-parleur (fondamental absent). La voix reste reconnaissable et intelligible, car l’essentiel de l’intelligibilité se joue dans les fréquences plus aiguës que le fondamental.

Les limites du résultat. L’article le précise : l’effet des rangs joue « au moins quand le théâtre n’est pas plein ». Des spectateurs assis couvrent les marches, absorbent et changent la géométrie. Le calcul ne dit rien de l’intention des bâtisseurs ; les auteurs laissent ouverte la question d’une coïncidence. D’autres facteurs comptent sans doute : la pente de la cavea, qui laisse à chacun un trajet direct dégagé vers la scène, la réflexion sur le sol de l’orchestra, le calme du site. L’anecdote de la pièce entendue en haut des gradins suppose ce calme ; elle ne mesure pas l’intelligibilité d’une représentation.

Ce que fait un vase résonant. Un vase ouvert se comporte en résonateur de Helmholtz : l’air du col oscille comme une masse sur le ressort de l’air intérieur (volumes et notes). Placé dans un champ sonore, il prélève de l’énergie dans une bande étroite autour de sa fréquence propre, en dissipe une partie par frottement dans le col et réémet le reste avec un retard, en résonnant quelque temps après que la note a cessé. Il ne crée pas d’énergie. Selon la proportion entre ce qui est dissipé et ce qui est réémis, l’effet net va de l’absorption d’une note à un léger prolongement de celle-ci. Vitruve attend des vases que la voix « sonne avec plus de clarté et d’harmonie » ; la physique permet au mieux une coloration locale de quelques fréquences.

Ce qu’on a retrouvé. Aucun vestige certain des vases de bronze de Vitruve n’a été identifié dans un théâtre fouillé, et Vitruve lui-même concède que les nombreux théâtres construits chaque année à Rome s’en passent, en attribuant aux planchers des théâtres de bois une résonance naturelle. En revanche, des pots de terre cuite encastrés dans les murs ou les voûtes existent dans plus de 400 édifices médiévaux d’Europe recensés par Valière et Palazzo-Bertholon (2017), dont des dizaines d’églises françaises. Selon plusieurs mesures, ils se comportent en résonateurs qui absorbent certaines fréquences graves ; l’interprétation, débattue, n’exclut pas un rôle d’amplificateur (églises médiévales).

L'expérience de Boyle se résume souvent ainsi : sans air, pas de son. La phrase cache trois mécanismes distincts. Les séparer explique pourquoi le son baisse progressivement au lieu de s'éteindre d'un coup, pourquoi, selon un calcul d'ordre de grandeur, les aigus seraient atténués davantage, et pourquoi un bruit résiduel peut subsister même dans un très bon vide.

Premier mécanisme : la vitesse du son ne change pas. Dans un gaz parfait à température fixée, la célérité vaut √γ R T/M : la pression n'y figure pas (voir ce qui fixe la célérité). Quand on retire de l'air, la pression et la masse volumique baissent dans la même proportion, et leur rapport reste constant. Le son ne ralentit donc pas sous la cloche.

Deuxième mécanisme : le couplage diminue avec la masse volumique. La montre vibre à peu près de la même façon, quel que soit le gaz autour : son mécanisme est beaucoup plus lourd que l'air qu'il déplace. Pour une vitesse vibratoire v donnée de sa surface, la surpression qu'elle crée dans le gaz est proportionnelle à l'impédance ρ c du gaz (voir impédance). Comme c reste constant, cette surpression suit ρ, donc la pression moyenne. La paroi de verre, elle, est poussée par cette surpression et rayonne ensuite dans l'air de la pièce, qui n'a pas changé. Dans ce modèle simple (surface à vitesse imposée, couplage par l'impédance ; modèle propre à ce dossier, sans source publiée), le son qui sort est proportionnel à la pression résiduelle P sous la cloche : il perd 20 dB chaque fois que P est divisée par dix. De 101 kPa à 100 Pa, soit trois décades, le calcul donne 20 × 3 = 60 dB de moins ; à 1 Pa, 100 dB. C'est la loi qu'illustre l'atelier S03.

Troisième mécanisme : l'absorption par le gaz grandit quand il se raréfie. Une onde perd de l'énergie par viscosité et par conduction thermique. Dans le terme dit « classique » de la norme ISO 9613-1, ce coefficient d'absorption vaut 8,686 × 1,84 × 10^-11 × f^2 × (Pr/P) décibels par mètre, avec Pr = 101,325 kPa, à 20 °C. À 4 kHz et à la pression normale, cela fait 8,686 × 1,84×10^-11 × (4 000)^2 ≈ 2,6 × 10^-3 dB/m : négligeable sur 20 cm. À 10 Pa, la même formule prolongée donne environ 26 dB/m, soit 5 dB sur les 20 cm d'une cloche, et seize fois moins à 1 kHz, puisque l'effet varie comme f^2. La norme n'est pas écrite pour des pressions aussi basses ; le calcul ne donne qu'un ordre de grandeur. Selon ce calcul d'ordre de grandeur, hors du domaine de la norme, les aigus seraient atténués davantage que les graves dans la dernière décade de pompage, au-delà de la simple baisse de couplage.

Où s'arrête le modèle du gaz continu. Toute cette acoustique suppose que les molécules se heurtent souvent sur une distance petite devant la longueur d'onde. Le libre parcours moyen dans l'air vaut environ 66 nm à 20 °C et à la pression normale et croît comme 1/P : environ 0,7 mm à 10 Pa, 7 mm à 1 Pa. À 4 kHz, la longueur d'onde vaut 343/4 000 ≈ 8,6 cm ; à 1 Pa, le libre parcours atteint déjà près du dixième de cette longueur. Le seuil dépend du critère retenu, le nombre de Knudsen (rapport du libre parcours à la longueur d'onde) : 1 Pa n'est qu'un ordre de grandeur. Vers cette pression et en dessous, on ne peut plus parler d'onde sonore au sens ordinaire : les molécules transportent encore de la quantité de mouvement d'une paroi à l'autre, mais sans onde de pression organisée.

Le chemin solide. Tout ce qui précède concerne le gaz. La montre est aussi suspendue ou posée : le fil, le support et le socle transmettent ses vibrations au verre sans passer par l'air. Ce chemin ne dépend pas de la pression ; il fixe un plancher en dessous duquel le pompage ne gagne plus rien. C'est pourquoi le récit du chapitre distingue la montre, qui s'éteint presque, de la cloche frappée, qui faiblit seulement : le choc passe par la tige et le support. Les démonstrations modernes suspendent la sonnerie à des élastiques ou la posent sur de la mousse pour abaisser ce plancher. Le résultat de Boyle va dans ce sens : dans la même série d'expériences, une petite clochette calée par un bâton courbé, qui fait ressort contre la paroi, ne change presque pas de volume quand on pompe. Boyle attribue toutefois cet effet à une matière subtile ou à un peu d'air resté sous le récipient, pas à un chemin solide. Et une expérience plus ancienne, celle de Gasparo Berti au début des années 1640, où une cloche placée dans le vide d'un long tube restait audible, avait déjà reçu cette objection : la cloche, fixée à l'appareil, transmettait le son par ses attaches.

Le chapitre donne l'équation de d'Alembert pour la corde. On la retrouve ici à partir de la loi de Newton appliquée à un petit morceau de corde, puis on calcule ce que contient un pincement : quels modes, avec quelles amplitudes.

Le bilan des forces sur un tronçon. Une corde de masse linéique µ est tendue par une tension τ entre deux points fixes distants de L ; y(x,t) est son déplacement transversal. Un tronçon de longueur dx est tiré à chacun de ses bouts par la tension, dirigée le long de la corde. Tant que la pente reste petite, la composante transversale de cette traction vaut τ partial y/partial x à l'abscisse x. La force nette sur le tronçon est la différence entre ses deux bouts, soit τ (partial^2 y/partial x^2) dx : elle n'existe que si la corde est courbée. Cette force accélère une masse µ dx. On divise par dx :

Ce que les hypothèses coûtent. Prenons la corde de mi aigu de guitare de la clé sur la fabrication d'un son (acier de 0,254 mm, L = 0,65 m, τ ≈ 73 N), pincée à 2 mm de hauteur au quart de sa longueur. La pente la plus forte vaut 2/162,5 ≈ 0,012 : confondre sinus et tangente d'un tel angle fait une erreur relative de l'ordre de θ^2/2 ≈ 8 × 10^-5. La corde déformée est plus longue que la corde droite de tfrac12h^2 [1/a + 1/(L-a)], soit tfrac12×(0,002)^2×(6,15 + 2,05) ≈ 1,6 × 10^-5 m, un allongement relatif de 2,5 × 10^-5. Avec un module d'Young de 200 GPa et une section de 5,07 × 10^-8 m², la tension augmente d'environ 200 × 10^9 × 5,07 × 10^-8 × 2,5 × 10^-5 ≈ 0,25 N, soit 0,35 %. La fréquence, qui varie comme la racine de la tension, monte donc au plus d'environ 0,17 %, de l'ordre de trois cents, juste après l'attaque, puis redescend à mesure que l'amplitude décroît. L'équation linéaire ignore cet effet : c'est sa première limite mesurable.

Les modes de Bernoulli et le pincement. Chaque forme sin(nπ x/L) s'annule aux deux extrémités et oscille sans se déformer à la fréquence n f1, avec f1 = c/(2L). Daniel Bernoulli soutient que tout mouvement de la corde est une somme de ces modes. Pour une corde tirée à la hauteur h au point a, puis lâchée sans vitesse, la forme de départ est un triangle ; ses coefficients s'obtiennent par la méthode que Fourier généralisera :

Exemple chiffré (calcul pour ce dossier). Avec a = L/4 et h = 2 mm, le premier coefficient vaut b1 = 2h × 16/(3π^2) × sin(π/4) ≈ 0,764 h ≈ 1,53 mm. Les suivants se déduisent du rapport bn/b1 = sin(nπ/4)/[n^2 sin(π/4)] :

Le quatrième et le huitième modes manquent, parce que leur nœud tombe au quart de la corde (le même raisonnement, pour un pincement au cinquième, est donné dans la clé sur la fabrication d'un son). Ce tableau décrit le déplacement de la corde. La force que la corde exerce sur le chevalet est proportionnelle à la pente à l'extrémité, donc à n bn : elle ne décroît que comme 1/n, et le spectre qui atteint la table d'harmonie est plus riche en aigus que le tableau ne le laisse croire. Pour voir ces modes se superposer, et l'impulsion de d'Alembert se réfléchir aux extrémités, l'atelier S04 calcule la même corde idéale.

Limite du modèle. La série suppose une corde sans raideur : l'angle vif du triangle y persiste indéfiniment, porté par des modes de rang très élevé. Une corde réelle a une raideur de flexion qui décale ses partiels aigus vers le haut et des pertes qui les éteignent plus vite, comme le détaille la clé sur la dispersion.

Le chapitre aligne Taylor, d'Alembert, Bernoulli, Euler et Lagrange comme des bâtisseurs d'une même théorie. Ils se sont en réalité opposés sur une question précise : une corde pincée, dont la forme de départ a un angle, peut-elle être décrite par une somme de sinusoïdes ?

Taylor, 1713. Dans « De motu nervi tensi », publié dans les Philosophical Transactions de la Royal Society, Brook Taylor traite la corde qui vibre avec une petite amplitude. Il raisonne à partir de l'isochronisme du pendule : la forme de la corde détermine la longueur d'un pendule isochrone, dont il tire la fréquence de la vibration fondamentale à partir de la longueur, de la tension et du poids de la corde. Son étude porte sur ce seul mode fondamental.

D'Alembert, 1747. Dans ses « Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration », lues à l'Académie de Berlin en 1747 et imprimées en 1749 dans le volume de l'Académie pour l'année 1747, Jean le Rond d'Alembert écrit pour la première fois l'équation aux dérivées partielles de la corde et sa solution générale : la somme de deux formes quelconques qui se déplacent en sens opposés. Mais il exige que la forme initiale soit donnée par une seule expression analytique : une corde pincée, faite de deux segments droits qui se rejoignent en angle, échappe selon lui à la théorie.

Euler, 1748. Leonhard Euler reprend le problème dès 1748, en latin dans les Nova Acta Eruditorum (1749), puis en français dans les mémoires de Berlin (« Sur la vibration des cordes », volume de 1748 imprimé en 1750). Il admet des formes initiales quelconques, même tracées à main levée, sans équation. D'Alembert conteste ces fonctions qu'aucune formule unique ne décrit.

Daniel Bernoulli, 1753. Dans deux mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1753, imprimés en 1755, Daniel Bernoulli soutient un argument de physicien : toute vibration d'une corde est un mélange de vibrations simples, dont Taylor avait étudié la première, sur les formes sin(π x/L), sin(2π x/L), et ainsi de suite, qui coexistent sans se gêner. Euler répond dans le même volume : ces sommes ne seraient que des solutions particulières, incapables de représenter une forme arbitraire. Selon l'historien Alain Herreman, l'énoncé « toute fonction est une série trigonométrique » vient surtout de ses adversaires, qui le formulent pour le réfuter.

Lagrange, 1759. À Turin, Joseph-Louis Lagrange remplace la corde par un chapelet de n masses, résout le système, puis fait tendre n vers l'infini : il retrouve la solution d'Euler, sans trancher la question des séries.

Fourier et les séries trigonométriques. Le 21 décembre 1807, Joseph Fourier présente à l'Institut un mémoire sur la propagation de la chaleur dans les solides, où il développe systématiquement des fonctions en séries trigonométriques. La commission est formée de Lagrange, Laplace, Monge et Lacroix ; Lagrange et Laplace contestent précisément ces séries, et le mémoire n'est pas publié. Mis au concours pour 1811, le sujet vaut à Fourier le prix début 1812, avec une réserve sur la rigueur de son analyse. Son livre, la Théorie analytique de la chaleur, paraît en 1822. Pour la corde pincée, on sait aujourd'hui que la série de sinus d'une forme continue faite de segments droits converge vers cette forme en tout point ; la preuve rigoureuse de cette convergence ne vient pas de Fourier lui-même (voir le calcul de la corde pincée).

Les plaques : un problème ouvert par l'expérience. Chladni publie ses figures dans les Entdeckungen über die Theorie des Klanges (Leipzig, 1787), puis dans Die Akustik (1802). En février 1809, amené par Laplace, Lacépède et Berthollet, il les montre à Napoléon aux Tuileries. Le lendemain, il reçoit 6 000 francs pour publier son ouvrage en français : le Traité d'acoustique paraît en novembre 1809. Napoléon fait aussi mettre au concours la théorie des figures (prix de 3 000 francs). Sophie Germain est la seule candidate en 1811 (pas de prix), obtient une mention honorable en 1813, et remporte le prix avec son troisième mémoire, décerné en janvier 1816 ; elle en publie une version, les Recherches sur la théorie des surfaces élastiques, en 1821. Gustav Kirchhoff établit en 1850 les conditions au bord qui lui manquaient, et résout la plaque circulaire.

Les figures de Chladni et le tube de Kundt rendent une vibration visible par des grains qui se déplacent. Savoir pourquoi un grain s'arrête à tel endroit évite de lire dans une figure plus qu'elle ne contient.

Pourquoi le sable quitte les zones qui vibrent. Un grain posé sur une plaque reste collé à elle tant que l'accélération de la plaque vers le bas ne dépasse pas celle de la pesanteur. Pour une vibration sinusoïdale d'amplitude w à la fréquence f, l'accélération maximale vaut (2π f)^2 w. À 500 Hz, elle atteint g dès que w = 9,81/(2π × 500)^2 ≈ 1,0 micromètre. Au-delà, le grain décolle, retombe un peu plus loin, rebondit au hasard. Il ne s'immobilise que là où l'amplitude reste sous ce seuil, c'est-à-dire dans une bande étroite autour des lignes nodales. La largeur des lignes de sable dépend donc de l'intensité de la vibration : plus on frotte fort, plus la bande calme se resserre et plus le dessin est net.

Pourquoi la poudre fine fait l'inverse. Chladni avait déjà remarqué que les fines rognures des crins de l'archet ne suivaient pas le sable : elles se rassemblaient aux endroits les plus agités de la plaque. Oersted obtenait le même résultat avec la poudre de lycopode. Savart, en 1827, y voyait un mode de vibration secondaire. Faraday, en 1831, montre que la cause est l'air : une plaque qui vibre met en mouvement la couche d'air qui la touche, en courants qui vont des lignes nodales vers les ventres, montent, puis reviennent vers les nœuds. Une poudre assez légère est emportée par ces courants et s'accumule aux ventres. Sa preuve est une expérience de vide : sous la cloche d'une pompe, le lycopode cesse de se rassembler au centre de la membrane vibrante et rejoint les parties immobiles, comme du sable. Ce mouvement moyen de l'air, créé par une vibration qui va et vient, porte aujourd'hui le nom d'écoulement acoustique (voir force de radiation et écoulement moyen). Selon la poudre, une figure montre donc les nœuds ou les ventres.

Ce que la figure dit de la fréquence. Une plaque vibre en flexion : sa fréquence propre croît comme le carré du nombre d'onde, alors que celle d'une corde lui est proportionnelle (voir dispersion). Chladni avait observé sur des plaques circulaires qu'un cercle nodal compte à peu près pour deux diamètres nodaux. Rayleigh a montré que la fréquence croît comme le carré de m + 2n aux hautes fréquences ; Rossing (1982) ajuste librement le coefficient de n et l'exposant, et retrouve 2 et 2 pour les plaques planes, d'autres valeurs pour les cymbales et les cloches. La fréquence d'un mode à m diamètres nodaux et n cercles nodaux suit donc à peu près f ≈ C (m + 2n)^p, avec p voisin de 2 pour une plaque plane. Une figure qui compte deux fois plus de lignes correspond donc, grossièrement, à une fréquence quatre fois plus haute. La constante C dépend de l'épaisseur, du diamètre, du matériau et de la fixation. La loi ordonne les figures d'une même plaque ; elle ne permet pas de lire une fréquence sur une plaque inconnue (voir solides, cordes, membranes et plaques).

Le tube de Kundt : une mesure de rapport. Dans le montage de 1866, une barre serrée en son milieu est frottée dans le sens de sa longueur. Elle vibre sur son premier mode longitudinal : sa longueur L vaut une demi-longueur d'onde dans le matériau. Son extrémité pousse la colonne d'air d'un tube où repose une poudre légère. À la bonne fréquence, l'air forme une onde stationnaire et la poudre se rassemble aux nœuds de déplacement, là où l'air ne bouge pas. Deux tas voisins sont séparés d'une demi-longueur d'onde dans l'air, d. La fréquence est la même dans la barre et dans l'air, donc le rapport des célérités vaut L/d. Exemple calculé pour ce dossier : une barre de laiton de 1 m, dont la célérité en barre mince vaut environ √E/ρ = √100 × 10^9 / 8 500 ≈ 3 430 m/s, vibre à 3 430/2 ≈ 1 715 Hz ; dans l'air à 20 °C, la demi-longueur d'onde vaut 343/(2 × 1 715) ≈ 10 cm. Dix tas par mètre de tube, et un rapport de célérités de 10. La méthode n'exige de connaître ni la fréquence, ni la célérité de l'air avec précision : elle compare deux longueurs.

Les limites. Les grains chargent la plaque et déplacent un peu ses fréquences ; les bords idéalisés des calculs ne correspondent jamais exactement à une plaque tenue par une pince. L'atelier S06 montre des modes calculés, pas des photographies de sable.

Le tableau compare des rapports justes et des rapports tempérés, et chiffre leur écart en cents. Ce bloc refait ces calculs, puis montre d'où viennent les deux « restes » qui empêchent tout accordage à douze notes d'être juste partout : le comma pythagoricien et le comma syntonique.

Pourquoi un logarithme. Deux intervalles joués l'un après l'autre multiplient leurs rapports : une quinte 3/2 suivie d'une quarte 4/3 donne 2, l'octave. L'oreille, elle, les perçoit comme des pas qui s'ajoutent. Le logarithme transforme le produit en somme ; le facteur 1 200 fixe l'octave à 1 200 cents et le demi-ton tempéré à 100.

Exemple chiffré. Tierce juste 5/4 : log₁₀ 1,25 ≈ 0,09691 ; 0,09691 / 0,30103 ≈ 0,32193 ; × 1 200 ≈ 386,31 cents. La tierce tempérée vaut 400 cents : elle est trop large de 13,69 cents. Quinte juste 3/2 : 701,96 cents ; quarte juste 4/3 : 498,04 cents ; leur somme fait exactement 1 200 cents, comme le produit des rapports fait exactement 2.

Deux restes qui ne tombent jamais juste. Aucune puissance de 3/2 n'est une puissance de 2 : un nombre impair ne devient jamais pair. Empiler des quintes justes ne ramène donc jamais sur une octave exacte. De même, quatre quintes ne donnent jamais la tierce 5/4, puisque 5 n'apparaît dans aucune puissance de 3 et de 2.

Le mésotonique au quart de comma. Pour rendre la tierce juste, on rétrécit chacune des quatre quintes d'un quart de comma syntonique. Le calcul se ferme exactement : (3/2)⁴ × 80/81 = 81/16 × 80/81 = 5, donc quatre de ces quintes font 5, c'est-à-dire la tierce 5/4 deux octaves plus haut.

La quinte du loup. Onze quintes de 696,58 cents font 7 662,36 cents. Pour retomber sur sept octaves (8 400 cents), la douzième quinte doit mesurer 8 400 − 7 662,36 ≈ 737,64 cents, soit 35,7 cents de plus qu'une quinte juste. Avec une note grave à 200 Hz, la note aiguë est à 200 × 2^(737,64/1 200) ≈ 306,2 Hz ; le troisième partiel du grave (600 Hz) et le deuxième de l'aigu (612,5 Hz) battent environ 12,5 fois par seconde. C'est la zone de rugosité du tableau du chapitre battements, et non plus un pouls qu'on compte.

La dérive d'un chœur qui chante juste. Un enchaînement do – la – ré – sol – do, chanté avec des intervalles justes, monte d'une sixte majeure (5/3), descend d'une quinte (2/3), monte d'une quarte (4/3), redescend d'une quinte (2/3). Produit : 5/3 × 2/3 × 4/3 × 2/3 = 80/81. Le do d'arrivée est plus bas que celui de départ d'un comma syntonique, 21,5 cents. Répété quatre fois, l'enchaînement fait baisser le chœur de près d'un demi-ton tempéré si personne ne corrige. « Chanter juste » n'est donc pas suivre une gamme fixe : c'est ajuster chaque accord, et accepter de déplacer légèrement une note commune d'un accord à l'autre.

L'atelier S29 permet de vérifier chaque nombre : écarts en cents par système, cercle qui ne se ferme pas, quinte du loup surlignée.

La liste des systèmes ci-dessus se lit comme un catalogue. Elle a aussi une histoire, qui n'est pas une marche vers la « bonne » solution : chaque époque a choisi quels intervalles garder purs et où loger les commas, selon la musique qu'elle jouait.

Des nombres, pas des marteaux. Les rapports 2/1, 3/2 et 4/3 sont attribués à l'école pythagoricienne, qui les mesurait sur des longueurs de corde. Le récit de Pythagore entendant des marteaux de forgeron dont les poids seraient dans ces rapports n'apparaît que des siècles plus tard, chez Nicomaque de Gérase (Ier ou IIe siècle), puis chez Boèce (VIe siècle). Il est physiquement faux : la hauteur d'un marteau n'est pas proportionnelle à son poids. Mersenne, dans l'Harmonie universelle (1636), formule la loi correcte pour les cordes : la fréquence varie comme la racine carrée de la tension, pas comme la tension. Vincenzo Galilei l'avait déjà entrevue vers 1589.

Ptolémée et la tierce 5/4. Dans ses Harmoniques (IIe siècle), Ptolémée décrit un diatonique « syntonique » fait de trois pas : 9/8, 10/9 et 16/15. Il contient des tierces majeures 5/4 et mineures 6/5, plus douces que la tierce pythagoricienne 81/64 (407,8 cents). L'écart entre les deux tierces, 81/80, porte d'ailleurs aussi le nom de comma de Didyme, un autre théoricien grec.

La Renaissance adoucit les tierces. Quand la polyphonie fait des tierces des consonances, il faut les rendre plus pures que dans l'accord pythagoricien. Pietro Aron publie en 1523 un manuel d'accord de clavier qui décrit peut-être ce qu'on appellera le mésotonique au quart de comma. Gioseffo Zarlino, dans Le istitutioni harmoniche (Venise, 1558), déclare le diatonique de Ptolémée seul accord raisonnablement chantable, et décrit pour les claviers un mésotonique au deux septièmes de comma ; en 1571, il expose le quart de comma. Francisco de Salinas, en 1577, dit pratiquer ce dernier depuis les années 1530. Le prix est connu : de belles tierces dans les tonalités proches, une quinte du loup dans les lointaines.

Le tempérament égal, calculé des deux côtés du monde. Diviser l'octave en douze pas égaux demande la racine douzième de 2, un nombre irrationnel. Le prince Zhu Zaiyu, à la cour des Ming, en donne le calcul numérique précis dès 1584 (Lüxue xinshuo, « Nouvelle explication de la théorie des hauteurs »), puis le reprend dans son Compendium complet de la musique et des hauteurs (Yuelü quanshu, 1595–1606), et l'applique aux longueurs de cordes et de tuyaux. En Europe, Simon Stevin le décrit dans un manuscrit, Van de Spiegheling der Singconst, resté inédit jusqu'en 1884 ; Mersenne publie des longueurs de cordes égales dans l'Harmonie universelle. Le calcul existe donc dès la fin du XVIe siècle ; son adoption générale prendra plus de deux siècles.

Les tempéraments « bien tempérés ». Entre le mésotonique et l'égal, les XVIIe et XVIIIe siècles essaient des solutions inégales qui permettent de jouer dans toutes les tonalités, chacune gardant une couleur propre. Andreas Werckmeister en publie plusieurs dans Musicalische Temperatur (1691), en répartissant le comma pythagoricien sur quelques quintes seulement. Le premier livre du Clavier bien tempéré de Bach est compilé en 1722 ; « bien tempéré » n'y veut pas nécessairement dire « égal ». Quel accord Bach employait reste débattu : Bradley Lehman a proposé en 2005 de lire une boucle calligraphiée de la page de titre comme un schéma d'accord, hypothèse très discutée.

Le XIXe siècle et l'usine. En Angleterre, le tempérament égal n'entre dans les ateliers du facteur Broadwood qu'autour de 1846. Le dictionnaire de Grove (article « Temperament » de James Lecky, dans l'édition transcrite de 1900) note qu'aucun orgue anglais accordé en tempérament égal ne figurait à la Grande Exposition de Londres, en 1851, et que les premiers furent livrés en 1854. Le piano, instrument industriel qui doit jouer tout le répertoire, a beaucoup pesé dans l'adoption du compromis égal : c'est une lecture d'historiens plutôt qu'un fait établi par une source précise.

Mesurer pour comparer. En 1885, Alexander J. Ellis présente devant la Society of Arts de Londres « On the musical scales of various nations », où il introduit le cent. L'unité est faite pour comparer des gammes de cultures différentes sans les ramener aux touches du piano : c'est l'outil qui permet, aujourd'hui encore, de décrire un pélog, un maqâm ou un accord de piano étiré avec la même règle.

Le chapitre donne la courbe de Plomp et Levelt sous la forme de Sethares : une différence de deux exponentielles, pour deux sons purs. Ce bloc en tire deux résultats : où tombe le maximum de rugosité, et comment on passe de deux sons purs à un accord de sons complexes.

Où la courbe culmine. Pour deux sons purs séparés de x hertz, la rugosité modélisée e^-3,5 s x - e^-5,75 s x est nulle à l'unisson, monte, puis redescend. Son maximum est là où la dérivée s'annule : 3,5 e^-3,5 s x = 5,75 e^-5,75 s x, soit e^2,25 s x = 5,75/3,5. En prenant le logarithme :

Calcul pas à pas vers 262 Hz. 0,021 × 261,6 + 19 ≈ 24,49 ; s = 0,24 / 24,49 ≈ 0,00980 s ; Δf* ≈ 0,2206 / 0,00980 ≈ 22,5 Hz. La valeur de la courbe en ce point est e^-0,772 - e^-1,269 ≈ 0,462 - 0,281 ≈ 0,181 : c'est le plafond de rugosité d'une paire de sons purs d'amplitude unité dans ce modèle. Les chiffres 20 Hz à 131 Hz et 27,6 Hz à 523 Hz affichés par l'atelier S30 sortent du même calcul.

Des sons purs à l'accord. Un son d'instrument a des partiels ; un accord de trois notes en superpose trois séries. Le modèle suppose que la rugosité totale est la somme des rugosités de toutes les paires de partiels, chaque paire étant pondérée par la plus faible de ses deux amplitudes.

Exemple chiffré (calcul pour ce dossier). Chaque note reçoit six harmoniques d'amplitudes 1 ; 0,88 ; 0,77… (0,88 puissance k − 1, le timbre de l'atelier S30, tronqué à six partiels). On additionne les 153 paires de dix-huit partiels. Notation française, do3 = 261,63 Hz.

Trois lectures, toutes propres à ce modèle et à ce timbre. D'abord, tempérer l'accord le rend plus rugueux : +17 % pour le majeur autour de do3, parce que des partiels qui coïncidaient se séparent de quelques hertz. Ensuite, le mineur juste n'est que 3 % plus rugueux que le majeur juste : la rugosité seule ne rend pas compte de la différence de caractère entre les deux, ce que le chapitre attribue à d'autres étages. Enfin, le même accord une octave plus bas est environ deux fois plus rugueux (de 1,9 à 2,1 fois selon l'accord) : dans le grave, davantage de paires tombent dans la zone où la courbe est haute.

Ce que changent les réglages. Le programme publié par Sethares emploie 3,51 ; 0,0207 et 18,96, et multiplie la courbe par un facteur constant 5 ; le chapitre arrondit à 3,5 ; 0,021 et 19 et omet ce facteur, qui multiplie toutes les valeurs sans changer leurs rapports. Refait avec les coefficients non arrondis, le calcul du tableau baisse d'environ 2 %, et la courbe de rugosité d'une paire de ces notes garde ses creux principaux aux mêmes rapports : 6/5, 5/4, 4/3, 3/2 et 5/3 (avec les coefficients non arrondis apparaît en plus un creux très peu marqué vers 7/4). Changer le nombre de partiels, leurs amplitudes ou la pondération change les valeurs de D, qui ne sont comparables qu'à timbre et réglages identiques.

Le chapitre cite les courbes isosoniques et leurs révisions successives. Derrière ces dates, il y a une question de méthode qui a occupé la psychologie expérimentale pendant un siècle : comment mesurer une grandeur qui n'existe que pour celui qui l'éprouve ? Les réponses successives n'ont pas toutes tenu, et la référence actuelle résulte d'une correction.

Fechner et le logarithme (1860). Dans Elemente der Psychophysik, Gustav Theodor Fechner part d'une observation d'Ernst Heinrich Weber : la plus petite différence perceptible entre deux stimulus est à peu près proportionnelle au stimulus lui-même. En additionnant ces petites différences, Fechner obtient une sensation qui croît comme le logarithme du stimulus. C'est la première tentative de loi quantitative reliant le physique au perçu. Elle a durablement associé l'échelle logarithmique à la perception ; le décibel, pourtant, n'est qu'une manière d'écrire un rapport physique, pas une mesure de la sensation.

Comparer à une référence (1933). Aux laboratoires Bell, Harvey Fletcher et Wilden Munson ne demandent pas à l'auditeur de chiffrer sa sensation. Ils lui demandent seulement de juger si un son pur est plus fort ou moins fort qu'un son de référence à 1 kHz, et ajustent jusqu'à l'égalité. Le niveau d'isosonie d'un son est alors le niveau du son de 1 kHz jugé aussi fort ; on l'exprimera en phones. Ce procédé d'appariement évite de faire confiance aux nombres qu'un auditeur donnerait spontanément. Les courbes qui en sortent, publiées en 1933 dans le Journal of the Acoustical Society of America, montrent que la sensibilité chute fortement dans le grave, surtout à faible niveau.

Demander des rapports (1936). Stanley Smith Stevens veut davantage : une échelle où « deux fois plus fort » a un sens. Il propose en 1936 le sone, défini de sorte qu'un son de 1 kHz à 40 dB corresponde à 1 sone, et obtient des auditeurs des jugements de moitié ou de double. Il applique la même démarche à la hauteur avec John Volkmann et Edwin Newman : l'échelle des mels, en 1937. Vingt ans plus tard, avec la méthode d'estimation de grandeur, Stevens conclut que la sensation suit une loi de puissance du stimulus, et non un logarithme : pour la sonie, un exposant voisin de 0,3 en intensité (de 0,25 à 0,33 selon les travaux, plus élevé dans les graves). La relation entre phones et sones est calculée dans l'analyse mathématique du chapitre sur l'oreille.

Le champ libre (1956). Les mesures de Fletcher et Munson étaient faites au casque, puis ramenées au champ libre par calcul, ce qui pose le problème de l'étalonnage de la pression au tympan. D. W. Robinson et R. S. Dadson, au National Physical Laboratory britannique, refont les mesures en champ libre, avec l'auditeur face à un haut-parleur dans une salle anéchoïque. Leurs courbes deviennent la base de la première norme internationale, la recommandation ISO R 226 de 1961.

La correction (2003). À partir des années 1980, des mesures réalisées dans plusieurs laboratoires, notamment au Japon, en Allemagne et au Danemark, s'écartent nettement des courbes de Robinson et Dadson sous environ 1 kHz, surtout sous 500 Hz, où les écarts atteignent souvent environ 14 dB. Un projet international, coordonné par Yôiti Suzuki, rassemble ces données et aboutit à la norme ISO 226:2003, qui remplace les anciennes courbes. Une nouvelle édition, ISO 226:2023, a suivi ; elle diffère de celle de 2003 de 0,6 dB au plus. Les courbes restent des moyennes d'auditeurs jeunes (18 à 25 ans), otologiquement normaux, en écoute binaurale, en champ libre et incidence frontale.

Une conséquence durable. La pondération A des sonomètres a été construite à partir de l'allure d'une courbe isosonique ancienne à faible niveau. Elle est pourtant appliquée aujourd'hui à tous les niveaux, y compris très élevés, dans les réglementations sur le bruit. C'est une convention commode, pas une mesure de la sonie : à fort niveau, elle sous-estime le poids des basses fréquences, d'où l'usage de la pondération C pour les crêtes et les graves.

Le chapitre cite Helmholtz, Békésy et Kemp en une ligne chacun. Leur succession raconte une erreur instructive : pendant près d'un siècle, les mesures ont été faites sur des oreilles mortes, et l'on a conclu à un organe passif. Le mécanisme actif que Kemp a révélé en 1978 avait été prédit trente ans plus tôt, puis écarté faute de preuve.

L'anatomie d'abord. En 1851, l'anatomiste italien Alfonso Corti décrit au microscope l'épithélium sensoriel posé sur la membrane basilaire, qui porte depuis son nom : l'organe de Corti, avec ses rangées de cellules ciliées.

Helmholtz et la résonance (1863). Dans Die Lehre von den Tonempfindungen (Théorie physiologique de la musique), Hermann von Helmholtz propose que l'oreille interne contienne une série de résonateurs accordés, à la manière des cordes d'une harpe : d'abord les arcs de Corti, puis, à partir de l'édition de 1870 et des mesures de Victor Hensen, les fibres de la membrane basilaire. Chaque région vibrerait pour une fréquence et exciterait les fibres nerveuses qui lui sont attachées. L'idée d'une analyse par position — une fréquence, un lieu — est juste et reste le fondement de la tonotopie. Le mécanisme proposé, des résonateurs indépendants, ne l'est pas.

Békésy et l'onde progressive. À partir de la fin des années 1920, Georg von Békésy observe au microscope, sur des cochlées prélevées après décès chez l'humain et l'animal, le mouvement de la membrane basilaire. Il ne voit pas des résonateurs isolés, mais une onde qui progresse de la base vers l'apex, grandit, culmine à un endroit qui dépend de la fréquence, puis s'éteint. Ce travail lui vaut le prix Nobel de physiologie ou médecine en 1961, « pour ses découvertes sur le mécanisme physique de la stimulation dans la cochlée ». Ses mesures montrent cependant un accord large : le pic d'excitation s'étend sur une grande portion de la membrane, bien plus que ne le laisse supposer la finesse de l'audition. L'écart est alors attribué à un affinement dans le système nerveux.

Gold, 1948 : une prédiction trop tôt. Thomas Gold, jeune physicien à Cambridge, calcule que les frottements visqueux dans les liquides cochléaires amortiraient trop fortement une membrane passive pour qu'elle soit sélective. Il en conclut que la cochlée doit réinjecter de l'énergie, comme un amplificateur à réaction, et qu'un tel système pourrait émettre du son. Ses tentatives pour le détecter échouent avec les moyens de l'époque, et l'idée reste en marge. Cette prédiction est souvent rapportée à l'article compagnon, cosigné avec R. J. Pumphrey.

Les mesures sur le vivant. En 1971, William Rhode mesure le mouvement de la membrane basilaire chez le singe écureuil vivant, par effet Mössbauer : la réponse est plus sélective que celle de Békésy, et non linéaire — elle ne croît pas proportionnellement au niveau. Elle se dégrade quand l'animal meurt. La différence entre l'oreille morte et l'oreille vivante devient un fait expérimental.

Kemp, 1978 : l'oreille qui répond. David Kemp, à Londres, place un petit microphone dans le conduit auditif, envoie un clic, et enregistre, quelques millisecondes plus tard, un son qui revient de l'oreille. Ce retard est trop long pour un simple reflet sur le tympan ; l'émission disparaît quand l'oreille est lésée. C'est la trace de l'amplificateur prédit par Gold. On découvre ensuite des émissions spontanées dans une partie des oreilles normales.

Le moteur. En 1985, William Brownell et ses collègues montrent que des cellules ciliées externes isolées changent de longueur quand on les stimule électriquement : c'est l'électromotilité. En 2000, l'équipe de Peter Dallos identifie la protéine responsable, la prestine.

De la découverte au dépistage. Parce qu'une oreille dont la cochlée fonctionne produit des otoémissions, leur enregistrement est devenu un test rapide, sans participation active du nouveau-né. En France, le dépistage de la surdité permanente néonatale est organisé à l'échelle nationale par un arrêté du 23 avril 2012, avec le consentement des parents ; les techniques, otoémissions ou potentiels évoqués auditifs automatisés, ont été fixées par un arrêté du 3 novembre 2014.

Ce que cette histoire enseigne. L'objet mesuré avait changé de nature par la mesure même : un organe mort n'a plus d'amplificateur. La conclusion « la cochlée est passive » n'était pas une erreur de calcul, mais une limite de la préparation expérimentale.

Le chapitre nomme le traumatisme sonore et donne la règle de dose. On décrit ici ce qui se passe dans la cochlée lors d'une exposition excessive, pourquoi un audiogramme normal ne prouve pas une oreille intacte, et quand le modèle d'égale énergie décrit mal le risque. Ce bloc explique un mécanisme ; il ne remplace ni un avis médical ni une évaluation d'exposition.

Deux issues d'une même exposition. Après un son intense, le seuil d'audition remonte. S'il redescend en quelques heures ou quelques jours, on parle de déplacement temporaire du seuil ; s'il ne redescend pas, de déplacement permanent. Les cellules ciliées externes, qui assurent l'amplification active décrite dans la clé sur l'oreille moyenne et la cochlée, sont en général les plus vulnérables ; les cellules ciliées internes et les fibres nerveuses peuvent aussi être atteintes. Chez les mammifères, les cellules ciliées détruites ne se régénèrent pas : la perte qui en résulte est définitive.

Une encoche dans l'aigu. La perte due au bruit apparaît d'abord, sur l'audiogramme, sous la forme d'une encoche entre 3 et 6 kHz, souvent la plus marquée vers 4 kHz, avec une remontée à 8 kHz. Cette région porte des indices importants de la parole, notamment des consonnes. Plusieurs explications de cette localisation ont été proposées, dont la résonance du conduit auditif vers 3 kHz, qui renforce ces fréquences au tympan. La remontée à 8 kHz distingue en général cette perte de la presbyacousie, qui s'aggrave régulièrement vers l'aigu ; les deux s'additionnent souvent.

Un seuil revenu n'est pas une oreille intacte. En 2009, Sharon Kujawa et Charles Liberman ont exposé des souris à un bruit qui ne provoquait qu'un déplacement temporaire du seuil. Deux semaines plus tard, les seuils étaient revenus à la normale, mais jusqu'à environ la moitié des synapses entre cellules ciliées internes et fibres du nerf auditif avaient disparu, dans la région des aigus de la cochlée. Cette « synaptopathie » ne se voit pas sur un audiogramme classique, qui mesure la détection de sons purs faibles. Chez l'humain, l'existence d'une perte de ce type, parfois appelée « perte auditive cachée », et ses conséquences pour la compréhension dans le bruit restent débattues : les études donnent des résultats contradictoires (voir la revue de Bramhall et coll., 2019), et les mesures directes ne sont possibles qu'après décès. On peut dire que le modèle animal justifie la prudence ; on ne peut pas dire que le phénomène est établi chez l'humain avec la même ampleur.

Le réflexe stapédien protège peu. Un son fort déclenche la contraction du muscle de l'étrier, qui raidit la chaîne des osselets et réduit la transmission, surtout dans le grave. Ce réflexe apparaît au-delà d'environ 70 à 100 dB SPL, avec une latence de 25 à 150 ms (la plus courte à fort niveau), et il se fatigue en quelques minutes d'exposition. Il atténue d'environ 10 dB dans les graves, peu dans les aigus où se situe l'encoche, et il n'a pas le temps d'agir sur une détonation ou un claquement isolé.

Les limites de l'égale énergie. La règle des 3 dB suppose que seule compte l'énergie. Plusieurs situations s'en écartent :

• les bruits impulsionnels : tir, marteau, choc métallique. À énergie égale, un bruit riche en impulsions semble plus dangereux qu'un bruit continu ; certaines études proposent de corriger le niveau par un indice statistique d'impulsivité, le kurtosis, qui reste une piste de recherche et n'entre pas dans la réglementation. D'où, en partie, les valeurs de crête séparées, en dB(C), du Code du travail, qui bornent les pics indépendamment de l'énergie moyenne ;
• l'intermittence : des pauses calmes permettent une récupération partielle, que la moyenne énergétique ne représente pas ;
• la sensibilité individuelle : à exposition égale, les pertes varient beaucoup d'une personne à l'autre ;
• les co-expositions : certains solvants industriels et certains médicaments sont ototoxiques et peuvent aggraver l'effet du bruit.

Acouphènes et hyperacousie. Un acouphène est la perception d'un son sans source extérieure. Il accompagne souvent une atteinte auditive, mais peut exister avec un audiogramme normal. L'hyperacousie est une intolérance à des sons d'intensité ordinaire. Ni l'un ni l'autre ne se mesure directement avec un sonomètre : ce sont des perceptions, décrites et évaluées par des questionnaires et des tests cliniques.

Ce qu'on peut en retenir. Les seuils réglementaires encadrent un risque moyen dans une population. Ils ne garantissent pas l'absence d'effet pour une personne et ne disent rien de l'état des synapses. La prévention consiste à réduire le niveau à la source, à limiter la durée, et à porter des protecteurs adaptés quand le reste ne suffit pas. Le Code du travail fixe des valeurs d'exposition de 80 et 85 dB(A) et de 135 et 137 dB(C) en crête, et des limites de 87 dB(A) et de 140 dB(C) qui s'apprécient protecteurs compris (l'atténuation des protecteurs relève de l'article R4431-3).

Le chapitre donne la règle des 3 dB sous forme de durées admissibles et de fractions de dose. On la retrouve ici à partir d'un seul principe, l'égale énergie, on l'applique à une journée de travail, puis on la compare à l'échelle de la sensation. Les deux échelles partent du même niveau en décibels, mais n'évoluent pas au même rythme : c'est la raison pour laquelle l'oreille est un mauvais juge de sa propre exposition.

Le principe d'égale énergie. Le modèle réglementaire suppose que le risque dépend de l'énergie acoustique reçue, pondérée A, quelle que soit sa répartition dans la journée. On ramène donc toute exposition à un niveau constant qui, pendant 8 heures, apporterait la même énergie.