Les Formules
de l'Empire

« La plus belle formule » : multiplier par , c'est tourner d'un angle θ dans le plan complexe. En θ = π, on obtient .

π relie le rayon à la circonférence et à l'aire. Faites rouler le cercle : sur une longueur de 2πr, il fait exactement un tour.

L'astuce du petit Gauss : deux escaliers de points forment un rectangle — la somme en est la moitié. Réglez n.

La généralisation de Pythagore à tout triangle. Quand , le terme en cosinus s'annule et on retrouve .

La loi normale : moyenne , écart-type . 68 % de l'aire dans , 95 % dans .

La dérivée donne la pente de la tangente en chaque point. Déplacez le point : la droite épouse toujours la courbe localement.

On additionne deux vecteurs composante par composante — ou, géométriquement, en fermant le parallélogramme : la diagonale est la résultante. Réglez les quatre composantes.

Deux sécantes issues d'un point O, coupées par deux parallèles : elles découpent des segments proportionnels. Glissez la parallèle, les deux rapports restent égaux.

Chaque terme est la somme des deux précédents : voyez chaque barre s'empiler à partir des deux d'avant, et le rapport converger vers le nombre d'or.

Une somme infinie qui tient dans une longueur finie : chaque segment vaut , et tous ensemble remplissent 1/(1−r). Pour r = ½ : 1 + ½ + ¼ + … = 2.

Lancez des points au hasard dans un carré : la fraction qui tombe dans le quart de disque vaut π/4. Plus il y a de points, meilleure est l'estimation.

Le problème non résolu le plus simple : pair → on divise, impair → ×3+1. Toute valeur de départ semble finir à 1… mais personne ne sait le prouver. Tracez la trajectoire.

Enroulez les entiers en spirale et n'éclairez que les nombres premiers : au lieu d'un nuage aléatoire, ils s'alignent en diagonales. Un motif encore mal expliqué, griffonné par Ulam pendant une conférence ennuyeuse.

Une somme infinie de fractions impaires alternées converge vers . Magnifique mais lente : il faut des centaines de termes pour deux décimales. Regardez l'estimation osciller puis se resserrer.

À une altitude donnée, la vitesse pour rester en orbite circulaire, et celle (√2 fois plus grande) pour s'échapper de l'attraction terrestre.

La force divisée par la masse donne l'accélération. Les 39 000 kN du SLS sur ~4 000 t donnent près de 10 m/s².

Le delta-v qu'une fusée peut produire, à partir de l'impulsion spécifique et du rapport de masse plein/à sec. Croît en logarithme : d'où l'enjeu du ravitaillement.

La puissance cinétique des gaz éjectés : débit massique fois le carré de la vitesse d'éjection . De l'ordre du gigawatt au décollage.

Le grondement du décollage (et toute intensité : son, lumière, gravité) décroît comme l'inverse du carré de la distance. Doublez la distance, l'intensité est divisée par quatre.

Le flux de chaleur à travers le bouclier d'Orion : proportionnel à la conductivité et au gradient de température. C'est lui qui dimensionne l'écran face aux 2 760 °C de la rentrée.

Masse et énergie sont deux faces d'une même grandeur. Une once de matière contient une énergie colossale — convertissez et comparez.

La loi de Faraday : 1 kg d'eau donne 0,11 kg d'H₂ + 0,89 kg d'O₂ (rapport de masses 18 → 2 + 16). Le carburant lunaire qu'on n'a pas eu à lancer.

La longueur d'onde de la lumière émise quand l'électron de l'hydrogène retombe de vers . La série de Balmer (n₁ = 2) est visible — voyez la raie réelle.

D'où viennent 2, 8, 18, 32 : chaque orbitale tient 2 électrons (Pauli), chaque sous-couche , chaque couche .

Un élément en devient un autre : α retire 2 protons et 2 neutrons, β⁻ change un neutron en proton, γ ne fait que se désexciter. Partez d'un noyau et désintégrez-le.

On ne connaît plus la position de l'électron, mais une densité de probabilité : le carré de la fonction d'onde. Voici le nuage, orbitale par orbitale.

Toute particule en mouvement est aussi une onde, de longueur d'onde inversement proportionnelle à sa quantité de mouvement. Pour un électron lent, λ atteint l'échelle atomique — d'où la diffraction des électrons.

On ne peut pas connaître en même temps la position et la vitesse avec une précision arbitraire : resserrer le paquet d'onde en position l'élargit en impulsion. Ce n'est pas un défaut de mesure, c'est la nature même du quantique.

Le gradient d'un relief pointe vers la plus forte montée ; son opposé dévale la pente. Déplacez la souris sur la colline : la flèche suit toujours la pente.

Le scalaire mesure l'alignement (cos θ), le vectoriel la perpendicularité (sin θ). Tournez les deux vecteurs et lisez-les.

L'énergie disponible pour faire monter l'air — le « plein d'essence » de la convection. Une estimation de la vitesse ascensionnelle : .

La rotation potentielle stockée dans le cisaillement du vent : au-dessus de ~150 m²/s², le supercellulaire devient tornadique. Réglez le cisaillement et voyez le courant ascendant s'enrouler.

L'énergie du mouvement croît avec le carré de la vitesse : doubler v quadruple l'énergie (et la distance de freinage).

La force de rappel d'un ressort est proportionnelle à l'étirement. La masse oscille avec une période qui dépend de k et m, jamais de l'amplitude.

La période ne dépend que de la longueur (aux petites oscillations) — ni de la masse, ni de l'amplitude. C'est ce qui fait les horloges.

Sous accélération constante, la position suit une parabole du temps. Réglez a et la vitesse initiale, suivez le mobile et sa courbe x(t).

Pour tourner, il faut une force dirigée vers le centre. Elle grandit avec le carré de la vitesse et diminue avec le rayon.

Sur une pente, le poids se décompose : une part fait glisser, l'autre presse contre la surface et nourrit le frottement. Le bloc ne part que si .

« Donnez-moi un point d'appui… » : une petite force à grand bras équilibre une grande force à petit bras. Le moment (force × distance) est ce qui compte. Cherchez l'équilibre parfait.

L'intensité de la pesanteur faiblit avec l'altitude. Montez d'un rayon terrestre, et votre poids est divisé par quatre.

Plus une planète est loin, plus son année est longue — et pas un peu : le carré de la période suit le cube du rayon. (En unités solaires : .)

La gravité creuse un puits d'énergie : pour s'en échapper, il faut remonter toute la pente. C'est l'origine de la vitesse de libération.

Les charges de même signe se repoussent, de signes opposés s'attirent — avec la même loi en 1/r² que la gravité, mais 10³⁶ fois plus forte.

Une charge emplit l'espace de lignes de champ : sortantes pour le +, entrantes pour le −. Une charge-test y ressent une force.

Deux plaques stockent une charge proportionnelle à la tension — et une énergie dans le champ entre elles.

Tout courant qui traverse une résistance la chauffe : c'est le grille-pain, l'ampoule à incandescence, le radiateur — et la perte dans les lignes haute tension. La puissance grimpe comme le carré du courant.

Un fil parcouru par un courant dans un champ magnétique subit une force — c'est elle qui fait tourner tous les moteurs électriques.

Bougez un aimant près d'une bobine, et un courant apparaît — proportionnel à la vitesse de variation du flux. C'est le principe de l'alternateur.

Un courant entoure son fil de cercles de champ magnétique (règle de la main droite), d'autant plus intenses que le courant est fort et qu'on est proche.

La lumière se courbe en changeant de milieu. Au-delà d'un angle critique, elle ne passe plus du tout : réflexion totale (le principe de la fibre optique).

Deux rayons suffisent à trouver l'image : l'un parallèle (passe par le foyer), l'autre par le centre. Approchez l'objet et l'image grandit, s'inverse, file à l'infini.

Une source qui s'approche comprime ses fronts d'onde (son plus aigu) ; qui s'éloigne, les étire (plus grave). La sirène qui passe, le décalage des galaxies.

Une corde fixée aux deux bouts ne vibre qu'en modes entiers (1, 2, 3… ventres) : c'est toute la musique. Choisissez l'harmonique.

Tout corps chaud rayonne : sa couleur dit sa température (Wien) et sa puissance grimpe en T⁴ (Stefan). Une étoile passe du rouge au bleu.

Dans un gaz, les molécules n'ont pas toutes la même vitesse : une distribution qui s'étale et se décale vers la droite quand on chauffe.

Un café chaud refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement en approchant la température de la pièce. Décroissance exponentielle.

Une population croît d'abord vite, puis sature à la capacité K du milieu : la courbe en S, des bactéries aux marchés.

Sains → Infectés → Rétablis. Le nombre décide de tout : au-dessus de 1, ça flambe. « Aplatir la courbe », en direct.

Deux pendules accrochés : un système parfaitement déterministe, et pourtant imprévisible — la moindre différence de départ change tout.

L'ivrogne qui titube : après n pas au hasard, il s'éloigne typiquement de √n pas. Le mouvement brownien, la diffusion, la bourse.

Un dé donne n'importe quoi ; mais la moyenne de milliers de lancers se cale inexorablement sur 3,5. Le hasard devient certitude à grande échelle.

La probabilité d'obtenir k succès en n essais (pile/face truqué). Réglez n et p et voyez la distribution se déformer.

Une horloge qui file près de la lumière bat plus lentement. Poussez v vers c : l'aiguille du voyageur se fige et γ explose.

Dans le sens du mouvement, une fusée rapide est vue raccourcie. À 0,87 c, elle ne fait plus que la moitié de sa longueur au repos.

L'énergie totale d'une masse en mouvement tend vers l'infini quand v → c : voilà pourquoi rien de massif n'atteint la vitesse de la lumière.

0,7 c + 0,7 c ne font pas 1,4 c : la relativité plafonne toute somme de vitesses à c. Comparez le calcul classique et le vrai.

La règle de base de toute atmosphère : la pression à une altitude, c'est simplement le poids de tout l'air au-dessus. Plus on monte, moins il reste d'air à porter — donc la pression baisse. Réglez la gravité et la densité.

La pression d'un gaz, c'est la grêle de ses molécules sur les parois. Chauffez (T) et elles cognent plus fort et plus souvent ; densifiez et elles sont plus nombreuses. Regardez la pression monter avec la température. Ici est la densité et la masse molaire.

Le long d'un rayon, l'intensité tend vers la fonction source du milieu : un gaz plus chaud que le fond émet, plus froid il absorbe. C'est ce bilan qui dessine les raies d'un spectre. Réglez l'épaisseur optique.